Bab 2 Garis Sebagai Kurva Berderajat Satu

Pengertian Persamaan garis lurus

Persamaan garis lurus merupakan sebuah persamaan dengan pangkat variabel tertingginya adalah satu dan hanya memiliki satu variabel bebas. Bentuk umum persamaannya adalah sebagai berikut:

y = mx + c

Dengan:

m = kemiringan/slope/gradien/tanjakan

c = titik potong sumbu y (intercept)

m, c adalah konstanta

Contoh persamaan garis lurus adalah: 

y = 2x + 4

Dengan:

2 = m = kemiringan/slope/gradien/tanjakan

4 = c = titik potong sumbu y (intercept)

Grafik Persamaan Garis Lurus

Bentuk grafik persamaan garis lurus berupa garis lurus dengan kemiringan tertentu. Kemiringan/slope/gradien/tanjakan merupakan nilai yang didapatkan dari tangen sudut (misalkan sudut α) yang membentuk kemiringan garis tersebut. 

tan α = ∆y/∆x = m

Nilai-nilai dari kemiringan/slope/gradien/tanjakan akan mempengaruhi bentuk grafik persamaan garis lurusnya.

Bentuk-bentuk grafik berdasarkan nilai m nya adalah sebagai berikut

1. m = 0

Jika kemiringan garisnya sama dengan 0, maka bentuk grafiknya adalah sebagai berikut:

2. m = ∞

Jika kemiringan garisnya sama dengan tak hingga, maka bentuk grafiknya adalah sebagai berikut:

3. m > 0 

Jika kemiringan garisnya lebih dari 0, maka bentuk grafinya adalah sebagai berikut:

4. m < 0

Jika kemiringan garisnya kurang dari 0, maka bentuk grafiknya adalah sebagai berikut:

grafik persamaan garis lurus

Cara membuat grafik persamaan garis lurus adalah sebagai berikut: 

1. Titik potong sumbu x

Untuk menentukan titik potong sumbu x, maka nilai y = 0

y = mx + c

0 = mx + c

-mx = c

x = -c/m

Didapatkan titik (-c/m, 0)

2. Titik potong sumbu y

Untuk menentukan titk potong grafik pada sumbu y, maka nilai x = 0

y = mx + c

y = m.0 + c

y = c

Didapatkan titik (0,c)

3. Titik-titik bantu

Titik-titik bantu didapatkan dengan cara menentukan sembarang nilai x dan kemudian mensubstitusikannya untuk mendapatkan nilai y.

Contoh:

Gambarlah grafik dari persamaan y = x + 2

Penyelesaian: 

1. Titik potong pada sumbu x

Untuk menentukan titik potong grafik pada sumbu x, maka nilai y=0

y = x + 2

0 = x + 2

x = -2

Didapatkan titik (-2,0)

2. Titik potong pada sumbu y

Untuk menentukan titik potong grafik pada sumbu y, maka nilai x = 0

y = x + 2

y = 0 + 2

y = 2

Didapatkan titik (0,2)

3. Titik-titik bantu

Titik titik bantu didapatkan dengan cara menentukan sembarang nilai x kemudian mensubstitusikan pada persamaan untuk memperoleh nilai y.

grafiknya:

Macam-macam Bentuk Persamaan garis lurus

1. Melalui titik asal O dan P(x1, y1)

y = (y1/x1)x = mx

2. Melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

y - y1 / y2 - y1 = x - x1 / x2 - x1

3. Melalui titik (0,c) dan bergradien m

y = mx + c

4. Melalui titik (x1,y1) dan bergradien m

y - y1 = m (x - x1)

5. Melalui titik (a,0) dan(0,b)

x/a + y/b = 1

6. Persamaan umum

Ax + By + C = 0

Persamaan Normal Suatu Garis

|ON| = n disebut panjang normal garis g. ON tegak lurus pada garis g. α adalah sudut yang diapit oleh normal ON dan sumbu x positif. Ambil sembarang titik P(x,y) pada garis g. Q adalah proyeksi titik Q pada sumbu x dan R adalah proyeksi titik Q pada ON.

∠OQR + α = 90° dan ∠OQR + ∠PQR = 90° 

Maka ∠PQR = α

|OR| = |OQ| cos α = x cos α

|RN| = |PQ| sin α = y sin α

Perhatikan bahwa |OR| + |RN| = |ON|, maka x cos α + y sin α = n 

Karena titik P sembarang titik pada garis lurus g, maka hubungan terakhir ini menyatakan persamaan garis g yang dinamakan persamaan normal dari Hess atau Persamaan Normal atau Persamaan Hess.

Pada bentuk umum persamaan garis lurus Ax + By + C = 0, apabila kedua ruas persamaan dikalikan k dengan k tidak sama dengan 0, maka diperoleh

k Ax + k By + k C = 0

Bandingkan dengan persamaan normal x cos α + y sin α - n = 0

Jika k Ax + k By + k C = 0 adalah persamaan normal, maka kA = cos α dan kB = sin α serta kC negatif. Sehingga diperoleh: 

Karena kC harus negatif sehingga harga k yang dipilih yang berlawanan tanda dengan tanda dari C. Sehingga persamaan normal dari Ax + By + C = 0 adalah 

Dapat disimpulkan bahwa jarak titik asal 0 ke garis lurus dengan persamaan Ax + By + C = 0 adalah 

Jika terdapat titik P dan sebuah garis g maka hanya ada dua kemungkinan posisi titik P dan garis g tersebut yaitu: 

1.titik P terletak pada garis g

2. Titik P terletak diluar garis g

Jika terdapat dua buah garis lurus g dan h, apabila dilihat posisinya ada 3 kemungkinan yaitu: 

1. Dua garis berpotongan

2. Dua garis sejajar

3. Dua garis berimpit

Untuk dua garis dalam persamaan bentuk umum berikut ini: 

Dua persamaan bentuk umum ini diubah menjadi 

Sehingga kemungkinan-kemungkinan letak dua garis itu 

1. Jika

maka dapat dikatakan dua persamaan itu saling bebas. Ini berarti kedua garis itu berpotongan.

2. Jika 

maka dua garis mempunyai dua gradien yang sama. Dua garis lurus yang mempunyai gradien yang sama memiliki dua kemungkinan: 

a. 

Ini berarti kedua garis memiliki gradien yang sama tetapi titik potong garis g1 dengan sumbu y tidak sama dengan titik potong garis g2 dengan sumbu y. Jadi dua garis tersebut sejajar.

b. 

Ini berarti dua persamaan tersebut saling bergangungan yaitu salah satu persamaan dapat diperoleh dari persamaan lainnya. Jadi dua garis tersebut berimpit.

perhatikan dua garis lurus yang berpotongan:

g1 : y = m1 x + n1

g2 : y =m2 x + n2

Gradien garis g1 adalah m1 = tan α dan gradien garis g2 adalah m2 = tan β. γ adalah sudut yang dibentuk oleh garis g1 dan garis g2. Sehingga 

Dengan melihat nilai-nilai tangen γ dapat ditentukan posisi kedua garis yaitu: 

1. Jika tan γ = 0 maka m1 = m2. Ini berarti dua garis tersebut sejajar dan berimpit.

2. Jika tan γ = ∞, yaitu γ = 90°, maka 1 + m1 m2 = 0 atau m1 = -1 / m2. Ini berarti dua garis tersebut saling tegak lurus.

Cara menentukan jarak titik sembarang ke garis lurus tertentu.

1. 

Misalkan garis g memiliki persamaan x cos α + y sin α - n = 0 dan titik T(x1,y1) yang berjarak d dari garis g. Dapat ditentukan persamaan normal garis g1 yang melalui titik T(x1,y1) dan sejajar dengan garis g. Dapat dilihat bahwa panjang normal garis g1 adalah (n+d) maka persamaan normal garis g1 adalah: x cos α + y sin α - (n + d) = 0

Karena titik T(x1,y1) pada garis g1, maka koordinat titik T memenuhi persamaan garis g1 sehingga diperoleh: x1 cos α + y1 sin α - (n+d) = 0

2. 

Persamaan normal garis g adalah x cos α + y sin α - n = 0. Garis g2 sejajar garis g dan melalui titik T(x1,y1). Sehingga panjang normal garis g2 adalah (n-d), maka persamaan normal garis g2 adalah x cos α + y sin α - (n-d) = 0

Karena titik T(x1,y1) pada garis g2 maka x1 cos α + y1 sin α - (n-d) = 0

Karena d adalah jarak, maka nilainya haruslah positif sehingga didapatkan: d = | x1 cos α + y1 sin α - n |

Persamaan normal dari Ax + By + C = 0 adalah

Referensi:

Sukirman. 1993. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah.

Catatan Kuliah Geometri Analitik Bab 2 Garis Sebagai Kurva Berderajat Satu Oleh: Della Maulidiya, S.Si., M.Kom dan Nur Aliyyah Irsal, M.Pd.